Question

15．如图1，在△ABC中，AB=AC，BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．
（1）直接写出∠ADE的度数；
（2）求证：DE=AD+DC；
（3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F（如图2），若EF=3，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；
（2）在线段DE上截取DM=AD，连接AM，易证△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根据BD=CD即可求得ME=CD，于是证得结论；
（3））如图2过点P作PQ⊥BE于Q，由角平分线的性质得到PA=PQ，再由三角形相似得到$\frac{AB}{EF}$=$\frac{AP}{PF}$，求得PF=3（$\sqrt{2}$-1），得到PE，根据勾股定理列方程求解．

解答 解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°，
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直线垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；
（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，
∵∠ADE=60°，DM=AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB=∠AME=120°
∵AE=AB，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AME}\\{∠ABD=∠E}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD=ME，
∵BD=CD，
∴CD=ME，
∵DE=DM+ME，
∴DE=AD+CD；
（3）如图2，过点P作PQ⊥BE于Q，
∵BP平分∠ABE，∠BAE=90°，
∴PA=PQ，
设PA=PQ=x，
∵∠AEB=45°，
∴PE=$\sqrt{2}$x，
∴AB=AE=AP+PE=（$\sqrt{2}+$1）x，
∵EF⊥BP，
∴∠PFE=90°，
∴∠PFE=∠BAE，
∵∠APB=∠EPF，
∴△ABP∽△EFP，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{AP}{PF}$，
∴PF=3（$\sqrt{2}$-1），
∴PE²=PF²+EF²=${[3（\sqrt{2}-1）]}^{2}$+3²=${（\sqrt{2}x）}^{2}$，
解得：x=3$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，
∴AB=3$\sqrt{2-\sqrt{2}}$•（$\sqrt{2}$+1），
∴PB²=${[（3\sqrt{2-\sqrt{2}}）•（\sqrt{2}+1）]}^{2}$+${（3\sqrt{2-\sqrt{2}}）}^{2}$=36，
∴PB=6．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，本题中求证△ABD≌△AEM是解题的关键．