Question

如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过点A作直线MN，使∠MAC=∠ABC，D是

AC

的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）请说明MN是半圆的切线；
（2）请说明FD=FG；
（3）若△DFG的面积为9，且DG：GC=3：4，试求△BCG的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题,等腰三角形的判定,圆周角定理,切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）如图1，由AB是半圆的直径可得∠ACB=90°，从而有∠CAB+∠ABC=90°，再结合条件∠MAC=∠ABC就可证到∠MAB=90°，进而可证到MN是半圆的切线．
（2）连接AD，如图2，由D是

AC

的中点可得∠DAC=∠DBA，由DE⊥AB，∠ADB=90°可得∠ADE=∠DBA，从而有∠DAC=∠ADE；再根据∠ADB=90°就可证到∠EDB=∠DGA，则有FD=FG．
（3）如图2，由FA=FD，FD=FG可得FA=FG，由条件“△DFG的面积为9”就可求出△ADG的面积；易证△ADG∽△BCG，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△BCG的面积．

解答：解：（1）如图1，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°．
∴∠MAB=90°，即MA⊥AB．
∵MA经过直径AB的外端，且MA⊥AB，
∴MN是半圆的切线．

（2）连接AD，如图2．
∵D是

AC

的中点，
∴∠DAC=∠DBA．
∵DE⊥AB，∠ADB=90°，
∴∠ADE=90°-∠EDB=∠DBA．
∴∠DAC=∠ADE．
∴FA=FD．
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAC+∠DGA=90°．
∴∠EDB=∠DGA．
∴FD=FG．

（3）如图2，
∵FA=FD，FD=FG，
∴FA=FG．
∴AG=2FG．
∴S_△ADG=2S_△FDG=18．
∵∠DAG=∠CBG，∠AGD=∠BGC，
∴△ADG∽△BCG．
∴

S△ADG

S△BCG

=（

DG

CG

）²．
∵DG：GC=3：4，S_△ADG=18．
∴

18

S△BCG

=

9

16

．
∴S_△BCG=32．
∴△BCG的面积为32．

点评：本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，而证出FA=FG及运用相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）是解决第（3）小题的关键．