Question

23、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC=10，求AB+AE的长．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形，BE为角平分线；可证△ABE≌△DBE，即AB=BD，AE=DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形；∠C=45°，ED⊥DC，△EDC也符合题意，综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
（2）BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称．可得出BE⊥AD．
（3）根据（2），可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB+AE=BD+DC=BC=10．

解答：解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．
（2）AD与BE垂直．
证明：由BE为∠ABC的平分线，
知∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∴A、D是对称点，
∴AD⊥BE．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE=DE，又BE=BE
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB=AD，
又∵△DCE为等腰直角三角形，
∴DE=DC，
即AB+AE=BD+DC=BC=10．

点评：此题考查了学生对角平分线定理以及在学习过程中对三角形知识的总结和认识．