题目内容

求证:△CMN是等边三角形.
分析:根据△ACD≌△BCE,得出AD=BE,AM=BN;又△AMC≌△BNC,可得CM=CN,∠ACM=∠BCN,证明∠NCM=∠ACB=60°即可证明△CMN是等边三角形;
解答:证明:∵△ABC是等边三角形,△CDE是等边三角形,
M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,
∴∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,AM=BN;
∴AC=BC,∠CAD=∠CBE,AM=BN,
∴△AMC≌△BNC(SAS),
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN;
又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM,
∠ACB=∠ACM-∠BCM,
∴∠NCM=∠ACB=60°,
∴△CMN是等边三角形.

∴∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
|
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,AM=BN;
∴AC=BC,∠CAD=∠CBE,AM=BN,
∴△AMC≌△BNC(SAS),
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN;
又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM,
∠ACB=∠ACM-∠BCM,
∴∠NCM=∠ACB=60°,
∴△CMN是等边三角形.
点评:本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质,难度一般,熟练掌握等边三角形的性质是解答的关键.

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