Question

如图，已知△ABC是等边三角形，AB交⊙O于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）已知DE=3，求：弧BD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由于△ABC是等边三角形，那么三个内角都等于60°，而OB=OD，易证△BOD是等边三角形；在Rt△ADE中，∠DAE=60°，∠AED=90°，可求∠ADE=30°，易求∠ODE=90°，从而可证DE是⊙O的切线；
（2）连接OA，由于△ABC是等边三角形，OB=OD，利用等腰三角形三线合一定理，易求OA⊥BC，∠BAO=∠CAO=30°，而△BOD是等边三角形，从而易求∠AOD=30°，则∠AOD=∠OAD，即AD=OD，在Rt△ADE中，利用三角函数值，可求AD，即知OD，利用弧长计算公式即可求弧BD的长．

解答：证明：（1）连接OD；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠A=60°，
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形；
在Rt△ADE中，
∵∠AED=90°，∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=180°-90°=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接OA；
∵△ABC是等边三角形，OB=OC，
∴OA⊥BC，∠BAO=∠CAO=30°，
又∵∠BOD=60°，
∴∠AOD=90°-60°=30°，
∴∠AOD=∠OAD=30°，
∴OD=AD；
在Rt△ADE中，
∵DE=3，∠ADE=30°，
∴AD=

DE

cos30°

=2

3

，
∴OD=2

3

，
∴弧BD=

60×π•2 3

180

=

2 3

3

π．

点评：本题利用了等边三角形的判定和性质、切线的判定、等腰三角形三线合一定理、三角函数值、弧长计算公式、平角定义．