题目内容

(2013•奉贤区二模)如图,已知△ABC是等边三角形,点D是BC延长线上的一个动点,以AD为边作等边△ADE,过点E作BC的平行线,分别交AB,AC的延长线于点F,G,联结BE.
(1)求证:△AEB≌△ADC;
(2)如果BC=CD,判断四边形BCGE的形状,并说明理由.
分析:(1)根据等边三角形性质得出AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠EAD=60°,求出∠BAE=∠CAD,根据SAS推出即可;
(2)根据全等得出BE=CD,∠ABE=∠ACD=120°,求出∠CBE=60°,推出BE∥AG,得出平行四边形,根据BE=CD=BC即可得出菱形.
解答:
证明:(1)∵等边△ABC和等边△ADE,
∴AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠EAD=60°,
∵∠BAE+∠EAC=60°,∠DAC+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAD,
在△AEB和△ADC中
AB=AC
∠BAE=∠CAD
AE=AD

∴△AEB≌△ADC(SAS);

(2)解:四边形BCGE的形状是菱形,
理由是:∵△AEB≌△ADC
∴∠ABE=∠ACD,BE=CD,
∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABE=∠ACD=∠BCG=120°,
∴∠DBE=60°,
∴∠BCG+∠DBE=180°,
∴BE∥CG,
∵BC∥EG,
∴四边形BCGE是平行四边形,
∵BC=CD,
∴BE=BC,
∴四边形平行四边形BCGE是菱形.
点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质,菱形的判定,平行四边形的判定等知识点的应用,主要考查学生的推理能力.
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