Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：线段AB及点P，任取AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）．

（1）如图1，已知C点的坐标为（1，0），D点的坐标为（3，0），求点P（2，1）到线段CD的距离d（P→CD）为

 

；
（2）已知：线段EF：y=x（0≤x≤3），点G到线段EF的距离d（P→EF）为

2

，且点G的横坐标为1，在图2中画出图，试求点G的纵坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据点到线段的距离的定义即可直接写出结果；
（2）分G在OE的上边和下边，两种情况进行讨论，求得直线OE中当x=1时点K的纵坐标，然后利用勾股定理求得G到K的距离，即可求得G的纵坐标．

解答：解：（1）d（P→CD）为 1．
（2）在坐标平面内作出线段DE：y=x（0≤x≤3）．
∵点G的横坐标为1，
∴点G在直线x=1上，设直线x=1交x轴于点H，交DE于点K，
①如图2所示，过点G₁作G₁F⊥DE于点F，则G₁F就是点G₁到线段DE的距离，
∵线段DE：y=x（0≤x≤3），
∴△G₁FK，△DHK均为等腰直角三角形，
∵G₁F=

2

∴KF=

2

由勾股定理得G₁K=2，
又∵KH=OH=1，
∴HG₁=3，即G₁的纵坐标为3；
②如图2所示，过点O作G₂O⊥OE交直线x=1于点G₂，由题意知△OHG₂为等腰直角三角形，
∵OH=1，
∴G₂O=

2

∴点G₂同样是满足条件的点，
∴点G₂的纵坐标为-1，
综上，点G的纵坐标为3或-1．

点评：本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，注意到△OHG为等腰直角三角形是关键．