Question

19．如图1，已知：AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，且OE⊥OF．
（1）求证：∠1+∠2=90°；
（2）如图2，分别在OE，CD上取点G，H，使FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，求证：FG∥EH．

Answer 1

分析 （1）过点O作OM∥AB，根据平行线的性质得出∠1=∠EOM，求出OM∥CD，根据平行线的性质得出∠2=∠FOM，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠AEH+∠CHE=180°，根据角平分线定义得出∠CFG=2∠2，∠AEH=2∠1，根据∠1+∠2=90°求出∠CFG+∠AEH=2∠1+2∠2=180°，求出∠CFG=∠CHE，根据平行线的判定得出即可．

解答 证明：（1）过点O作OM∥AB，
则∠1=∠EOM，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2=∠FOM，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
即∠EOM+∠FOM=90°，
∴∠1+∠2=90°；

（2）∵AB∥CD
∴∠AEH+∠CHE=180°，
∵FO平分∠CFG，EO平分∠AEH
∴∠CFG=2∠2，∠AEH=2∠1，
∵∠1+∠2=90°
∴∠CFG+∠AEH=2∠1+2∠2=180°，
∴∠CFG=∠CHE，
∴FG∥EH．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．