Question

12．有下列两个命题：命题1：两条平行线被第三条直线所截得的内错角的平分线互相平行；命题2：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
判断上述两个命题是真命题还是假命题？若是真命题，写出已知、求证，画出图形及证明过程；若是假命题，举反例加以说明．

Answer 1

分析 根据平行线的判定与性质可判断命题1为真命题，然后写出已知、求证，证明过程；利用反例说明命题2为假命题．

解答 解：命题1为真命题．
已知：如图1，AB∥CD，EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
求证：EM∥FN，
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE，
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠FEM=$\frac{1}{2}$∠BEF，∠EFN=$\frac{1}{2}∠$CFE，
∴∠FEM=∠EFN，
∴EM∥FN；
命题2为假命题．如图2：∠1＞∠2．

点评 本题考查了命题与定理：命题判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．