题目内容
4．在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，∠PMQ是直角，且直角顶点M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．PM边上动点P从点B出发沿射线BA以每秒2cm的速度运动，同时，MQ边上动点Q从点N出发沿射线NC运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求证：△PBM∽△QNM；
（2）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）若∠ABC=60°，BC=8cm．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；
分析 （1）根据MQ垂直于MP，MN垂直于BC，利用等式的性质得到一对角相等，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（2）PQ2=BP2+CQ2，理由如下：如图1，延长QM至D，使MD=MQ，连结BD、PD，利用SAS得到三角形BDM与三角形CQM全等，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等得到一对内错角相等，进而确定出BD与CQ平行且相等，利用两直线平行同旁内角互补，得到∠PBD为直角，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；
（3）由M为BC中点，求出CM的长，在直角三角形MNC中，利用锐角三角函数定义求出MN的长，①设Q点的运动速度为vcm/s，如图1，当0≤t＜2$\sqrt{3}$时，由（1）知△PBM∽△QNM，由相似得比例求出Q速度，如图2，易知当t≥2$\sqrt{3}$时，Q的速度；②由AC-NC表示出AN，如图1，当0≤t＜2$\sqrt{3}$时，根据AP，AQ，表示出S；如图2，当t≥2$\sqrt{3}$时，同理表示出AP，AQ，进而表示出S即可．
解答 （1）证明：如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=QMN，
∵∠PBM+∠C=90°，∠QNM+∠C=90°，
∴∠PBM=∠QNM，
∴△PBM∽△QNM；
（2）解：PQ2=BP2+CQ2，理由如下：如图1，延长QM至D，使MD=MQ，连结BD、PD，
∵BC、DQ互相平分，
∴BM=CM，DM=QM，
在△BDM和△CQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CM}\\{∠BMD=∠CMQ}\\{DM=QM}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CQM（SAS），
∴∠CQM=∠BDM，BD=CQ，
∴BD∥CQ，
∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
则PQ2=BP2+CQ2；
（3）解：∵BC=8cm，M为BC的中点，
∴BM=CM=4cm，
∵∠ABC=60°，∠C=30°，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CM=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$cm；
①设Q点的运动速度为vcm/s，
如图1，当0≤t＜2$\sqrt{3}$cm时，由（1）知△PBM∽△QNM，
∴$\frac{NQ}{BP}$=$\frac{MN}{MB}$，即$\frac{vt}{2t}$=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{4}$，
∴v=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm/s；
如图2，易知当t≥2$\sqrt{3}$时，v=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm/s，
综上所述，Q点运动速度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm/s；
②∵BC=8cm，AB=4cm，AC=4$\sqrt{3}$cm，NC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$cm，
∴AN=AC-NC=4$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm，
∴如图1，当0≤t＜2$\sqrt{3}$cm时，AP=（4-2t）cm，AQ=AN+NQ=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）cm，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•AQ=$\frac{1}{2}$（4-2t）（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）=（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t2+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）cm2；
如图2，当t≥2$\sqrt{3}$cm时，AP=（2t-4）cm，AQ=AN+NQ=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）cm，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•AQ=$\frac{1}{2}$（2t-4）（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t2-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）cm2．
点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
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