Question

设关于x的方程（a-b）³x²+（a²-3ab+2b²）x+a+b=0的根都是整数，且a-b是非零整数，求b的最小值．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：

分析：首先利用韦达定理得出a，b的关系，进而利用已知方程的根都是整数，得出符合题意的答案．

解答：解：若a-b=0，方程化为a+b=0，有无穷多个根，不合题意，
若a-b≠0，令（a-b）x=t，则t为整数，且（a-b）t²+（a-2b）t+（a+b）=0是关于t的二次方程，
由韦达定理得：
t₁+t₂=

2b-a

a-b

，t₁t₂=

a+b

a-b

，
故t₁t₂-2（t₁+t₂）=3，
所以，（t₁-2）（t₂-2）=7，
不妨设t₁≥t₂，有

t1-2=7 t2-2=1

或

t1-2=-1 t2-2=-7

，
解得：

t1=9 t2=3

或

t1=1 t2=-5

，
则

2b-a a-b =12 a+b a-b =27

或

2b-a a-b =-4 a+b a-b =-5

，
解得：13a=14b或2b=3a，
（1）若13a=14b，则a-b=

1

13

b为整数，
所以，b为整数且13|b，
又（a-b）x=t=

1

13

bx=3或9，于是，bx=39或117，
∵x是整数，b为整数且13|b，bx=39或117，
∴当x=-1时，则b_最小=-117，
（2）若2b=3a，则a-b=-

1

3

b，
所以，b为整数且3|b，
又（a-b）x=t=-

1

3

bx=1或-5，于是，bx=-3或15，
∵x是整数，b为整数且3|b，bx=-3或15，
∴当x=-1时，则b_最小=-15，
综上，b最小为-117．

点评：此题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根，得出a，b的关系是解题关键．