Question

16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，CA是∠DCF的平分线．求证：AF∥DC．

Answer 1

分析 根据BF平分∠ABC可得∠ABF=∠CBF，再加上AB=BC，BF=BF就可以推出△ABF≌△CBF，依据全等三角形对应边相等的性质可以推出AF=CF，进而可得∠CAF=∠FCA，然后再证明∠DCA=∠FAC可得结论．

解答 证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
在△AFB和△CFB中$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△CFB（SAS），
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠FCA，
∵CA是∠DCF的平分线，
∴∠FCA=∠DCA，
∴∠DCA=∠FAC，
∴AF∥DC．

点评 此题主要考查了平行线的判定以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明出∠CAF=∠FCA，掌握内错角相等两直线平行．