Question

6．已知抛物线y=x²-2x-a．
（1）若抛物线与x轴有两个交点，求a的取值范围；
（2）当代数式x²-2x-1的值为负整数时，求x的值．
（3）设抛物线与y轴的交点为A，顶点为B，直线AB与x轴交于点C，抛物线与x轴的右交点为D，是否存在C，D两点关于y轴对称的情况？如果存在，求出此时a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴有两个交点，△＞0即可解题；
（2）当x²-2x-1=0时，求x的值，即可解题；
（3）易求得直线AB的解析式，即可求得点C坐标，根据轴对称可得点D坐标，根据点D在抛物线上即可求得a的值，即可解题．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，△＞0，∴4+4a＞0，a＞-1；
（2）代数式x²-2x-1=0时，x=（1-$\sqrt{2}$）或（1+$\sqrt{2}$），
∵介于（1-$\sqrt{2}$）和（1+$\sqrt{2}$）的整数有-1、0、1、2，
∴x的值为-1、0、1、2；
（3）

∵抛物线解析式为y=x²-2x-a，
∴对称轴为x=-$\frac{-2}{2}$=1，
∴顶点坐标为（1，-a-1），
∵x=0时，y=-a，
∴点A坐标为（0，-a），
设直线AB解析式为y=kx+b，代入A、B点得：k=-1，b=-a，
∴直线AB解析式为y=-x-a，
∴点C坐标为（-a，0），
∵C，D两点关于y轴对称，
∴点D坐标为（a，0），
∵点D在抛物线上，代入点D得：a²-2a-a=0，解得：a=3，
∵a＞-1，∴a=3符合题意，
∴此时a的值为3．

点评 本题考查了代入法求一次函数解析式的方法，考查了抛物线对称轴、顶点的计算，本题中根据点D在抛物线上求得a的值是解题的关键．