Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，CD⊥AB，垂足为D，以BD为一条直角边向三角形外作第二个等腰Rt△BDE，再以BF为一条直角边向三角形外作第三个等腰Rt△BFG，如此下去，如果Rt△ABC的斜边为记为c₁，论上述方法所作的等腰直角三角形的斜边依次记为c₂、c₃、c₄、…、c_n，则c₂₀₁₅=$\frac{（\sqrt{2}）^{2014}}{{2}^{2013}}$．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的斜边和直角边的关系可得AB=$\sqrt{2}$BC=2，然后根据等腰直角三角形的性质得出BD=$\frac{1}{2}$AB=1，进而求得BE=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$，同理可得被分成的第三个…第n个等边三角形斜边，即可求得等2015个等腰直角三角形的斜边．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴c₁=2，
∵CD⊥AB，垂足为D，以BD为一条直角边向三角形外作第二个等腰Rt△BDE，
c₂=$\sqrt{2}$，
再以BF为一条直角边向三角形外作第三个等腰Rt△BFG，
c₃=1，
如此下去，
c₄=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
…
c_n=2×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1，
∴c₂₀₁₅=2×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁴=$\frac{（\sqrt{2}）^{2014}}{{2}^{2013}}$．
故答案为 $\frac{（\sqrt{2}）^{2014}}{{2}^{2013}}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形斜边和直角边的关系，等腰直角三角形的性质，求出第n个等腰直角三角形斜边长是解题的关键．