Question

15．如图，△ABC是直角边长为6的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O₂的直径，半圆O₁过C点且与半圆O₂相切，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A． $\frac{46-13π}{4}$
• B． $\frac{32-9π}{2}$
• C． $\frac{23-13π}{4}$
• D． $\frac{54-13π}{4}$

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质和同圆的半径相等，知三角形O₁CD和三角形O₂BE都是等腰直角三角形．设半圆O₁的半径是r，根据勾股定理列方程即可求解．

解答 解：连接O₁O₂，O₁D，O₂E，设⊙O₁的半径为r，在R_t△AO₁O₂中，∵O₁O₂²=O₁A²+O₂A²，
即（y+3）²=（6-r）²+3²，
解得：r=2，
∴S_阴影=S${\;}_{梯形ABD{O}_{1}}$-${S}_{扇形{O}_{1}CD}$-S${\;}_{扇形A{O}_{2}E}$-S${\;}_{△B{O}_{2}E}$
=$\frac{1}{2}$×（2+6）×4-$\frac{90•π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{90•π×{3}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×3×3
=$\frac{46-13π}{4}$．
故选A．

点评 本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，此题难度不大．