Question

已知菱形ABCD，两条对角线AC、BD相交于点O，DM⊥DA交BC于M，若M是BC的三等分点，则

AC

BD

的值是

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：设菱形的边长为3a，然后分两种情况表示出BM、CM，再利用勾股定理列式求出DM，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据菱形的面积列式求出AC，再相比即可得解．

解答：解：设菱形的边长为3a，
如图1，∵M是BC的三等分点，
∴BM=a，CM=2a，
在Rt△CDM中，DM=

CD2-CM2

=

(3a)2-(2a)2

=

5

a，
在Rt△BDM中，BD=

DM2+BM2

=

( 5 a)2+a2

=

6

a，
S_菱形ABCD=

1

2

AC•

6

a=3a•

5

a，
解得AC=

30

a，
所以，

AC

BD

=

30 a

6 a

=

5

；
如图2，∵M是BC的三等分点，
∴BM=2a，CM=a，
在Rt△CDM中，DM=

CD2-CM2

=

(3a)2-a2

=2

2

a，
在Rt△BDM中，BD=

DM2+BM2

=

(2 2 a)2+(2a)2

=2

3

a，
S_菱形ABCD=

1

2

AC•2

3

a=3a•2

2

a，
解得AC=2

6

a，
所以，

AC

BD

=

2 6 a

2 3 a

=

2

，
综上所述，

AC

BD

的值是

5

或

2

．
故答案为：

5

或

2

．

点评：本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的面积，勾股定理，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．