Question

5．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（　　）

• A． ∠ACD=∠DAB
• B． AD=DE
• C． AD²=BD•CD
• D． AD•AB=AC•BD

Answer 1

分析 利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠DAC=∠B，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定．

解答 解：A、因为∠ADC=∠BDA，∠ACD=∠DAB，所以△DAC∽△DBA，所以A选项添加的条件正确；
B、由AD=DE得∠DAC=∠E，而∠B=∠E，所以∠DAC=∠B，加上∠ADC=∠BDA，所以△DAC∽△DBA，所以B选项添加的条件正确；
C、由AD²=DB•CD，即AD：DB=DC：DA，加上∠ADC=∠BDA，所以△DAC∽△DBA，所以C选项添加的条件正确；
D、由AD•AB=AC•BD得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，而不能确定∠ABD=∠DAC，即不能确定点D为弧AE的中点，所以不能判定△DAC∽△DBA，所以D选项添加的条件错误．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理．