Question

17．如图，已知AB⊥l于点B，CD⊥l于点D，AB=1，BD=CD=3，点P是线段BD上的一个动点，试确定点P的位置，使PA+PC的值最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 以直线L为轴作A点对称点A′，连接A′C交直线l于P，则A′C就是PA+PC最小值；根据勾股定理求得A′C的长，即可求得PA+PC的最小值．

解答 解：作A点关于直线L的对称点A′，连接A′C交直线L于P，则PA+PC=A′P+CP=A′C，A′B就是PA+PC的最小值；
延长CD使KD=A′B，连接A′K，
∵AB⊥L，CD⊥L，
∴AA′∥CK，
∴四边形A′KDB是矩形，
∴KD=AB=1，A′K=BD=3，
∴CK=CD+KD=1+3=4，
∴A′C=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴PA+PC最小值为5．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，应用的知识点有：轴对称的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，作出直角三角形是关键．