Question

19．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD的延长线上，且BE=DF．
（1）求∠AEF的度数；
（2）如果∠AEB=75°，AB=2，求△FEC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠B=∠ADF=90°，AD=AB，求出∠ADF，根据SAS即可推出答案，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）设EC=x．利用勾股定理计算即可．

解答 解：（1）由正方形ABCD，得 AB=AD，∠B=∠ADF=∠BAD=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF=90°}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，AE=AF．
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°．
即得∠EAF=90°，
又∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=45°．
（2）∵∠AEB=75°，∠AEF=45°，
∴∠BEF=120°．
即得∠FEC=60°，
由正方形ABCD，得∠C=90°．∴∠EFC=30°．
∴EF=2EC，
设EC=x．则 EF=2x，BE=DF=2-x，CF=4-x．
在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CE²+CF²=EF²．
即得 x²+（4-x）²=4x²．
解得 $x{_1}=2\sqrt{3}-2$，$x{_2}=-2\sqrt{3}-2$（不合题意，舍去）．
∴$EC=2\sqrt{3}-2$，$CF=6-2\sqrt{3}$． 
∴$S{_{△CEF}}=\frac{1}{2}EC•CF=\frac{1}{2}（2\sqrt{3}-2）（6-2\sqrt{3}）=8\sqrt{3}-12$，
∴△FEC的面积为$8\sqrt{3}-12$．

点评 本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握是解此题的关键．