题目内容
15．
如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点（n＜0）．以AO为一边作矩形AOBC，使OB=2OA，点C在第二象限．将矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE．过点A的直线y=kx+m（k≠0）交y轴于点F，FB=FA．抛物线y=ax2+bx+c过点E，F，G且和直线AF交于点H，过点H作x轴的垂线，垂足为点M．（Ⅰ）若n=-4，求m的值；
（Ⅱ）求k的值；
（Ⅲ）点A位置改变时，△AMH的面积与矩形AOBC的面积比是否改变？说明你的理由．
分析 （Ⅰ）先表示出点F坐标，得出OF，FA，再用勾股定理建立方程求解即可．
（Ⅱ）由题意知OB=2OA=2n，在直角三角形AEO中，OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF的表达式，也就求出了FB的长，由于F的坐标为（0，m）据此可求出m，n的关系式，可用n替换掉一次函数中m的值，然后将A点的坐标代入即可求出k的值．
（Ⅲ）思路同（Ⅱ）一样，先用n表示出E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a，b，c与n的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示出H点的坐标，然后求出△AMH的面积和矩形AOBC的面积进行比较即可
解答 解：（Ⅰ）当x=0时，y=kx+m=m．
∴点F的坐标为（0，m）．OF=m．
由点A（-4，0），OB=2OA，
得OA=4，OB=8．
∴FA=FB=OB-OF=8-m．
在Rt△AOF中，由AF2=OA2+OF2，得（8-m）2=42+m2．
解得m=3．
（Ⅱ）根据题意得到：E（3n，0），G（n，-n）
当x=0时，y=kx+m=m，
∴点F坐标为（0，m）
∵Rt△AOF中，AF2=m2+n2，
∵FB=AF，
∴m2+n2=（-2n-m）2，
化简得：m=-0.75n，
对于y=kx+m，当x=n时，y=0，
∴0=kn-0.75n，
∴k=0.75．
（Ⅲ）∵抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9{n}^{2}a+3nb+c=0}\\{{n}^{2}a+nb+c=-n}\\{c=-0.75n}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4n}$，b=-$\frac{1}{2}$，c=-0.75n，
∴抛物线为y=$\frac{1}{4n}$x2-$\frac{1}{2}$x-0.75n，
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4n}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-0.75}\\{y=0.75x-0.75n}\end{array}\right.$，
得：x1=5n，y1=3n；x2=0，y2=-0.75n，
∴H坐标是：（5n，3n），HM=-3n，AM=n-5n=-4n，
∴△AMH的面积=0.5×HM×AM=6n2；
而矩形AOBC的面积=2n2，
∴△AMH的面积：矩形AOBC的面积=3，不随着点A的位置的改变而改变．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，解方程组，三角形的面积公式．解本题的关键是确定出双曲线和直线的解析式．
如图，在平面直角坐标系内有两点A（-2，0），B（$\frac{1}{2}$，0），CB所在直线的方程为y=2x+b，连接AC，求证：△AOC∽△COB．