题目内容
在Rt△AOB中，AO=6，BO=8，P为AB上一动点，PM⊥AO，以O为圆心OP为半径画⊙O．
（1）当PM2=AM•OM时，求证：AB是⊙O的切线；
（2）当P在运动的过程中，⊙O与线段AB交于另一点E，分别过P，E作AO的垂线如图所示，求PM+EN的值．
（1）当PM2=AM•OM时，求证：AB是⊙O的切线；
（2）当P在运动的过程中，⊙O与线段AB交于另一点E，分别过P，E作AO的垂线如图所示，求PM+EN的值．
考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）由PM2=AM•OM，结合∠AMP=∠OMP，可证得△AMP∽△PMO，可得∠APM=∠POM，可得到∠APM+∠OPM=90°，可知AB为⊙O的切线；
（2）过O作OQ⊥AB于Q，则Q为PE中点，过Q作QR∥OB交AO于R，则R为MN中点，可知QR为梯形MNEP的中位线，易求得AQ再由AR：AQ=AO：AB，可求得QR，从而可求得PM+EN．
（2）过O作OQ⊥AB于Q，则Q为PE中点，过Q作QR∥OB交AO于R，则R为MN中点，可知QR为梯形MNEP的中位线，易求得AQ再由AR：AQ=AO：AB，可求得QR，从而可求得PM+EN．
解答：（1）证明：∵PM⊥AO，
∴∠AMP=∠PMO，
∵PM2=AM•OM，
∴
=
，
∴△AMP∽△PMO，
∴∠APM=∠POM，
∴∠APM+∠OPM=∠POM+∠OPM=90°，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：如图，过O作OQ⊥AB于Q，则Q为PE中点，过Q作QR∥OB交AO于R，则R为MN中点，
∴QR为梯形MNEP的中位线，
∴PM+NE=2QR，
又AO=6，BO=8，
∴AB=10，
∴OQ=
，
在Rt△AQO中由勾股定理可求得AQ=
，
∵QR∥OB，
∴
=
，即
=
，
解得QR=
，
∴PM+NE=
．
∴∠AMP=∠PMO，
∵PM2=AM•OM，
∴
| AM |
| PM |
| PM |
| MO |
∴△AMP∽△PMO，
∴∠APM=∠POM，
∴∠APM+∠OPM=∠POM+∠OPM=90°，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：如图，过O作OQ⊥AB于Q，则Q为PE中点，过Q作QR∥OB交AO于R，则R为MN中点，
∴QR为梯形MNEP的中位线，
∴PM+NE=2QR，
又AO=6，BO=8，
∴AB=10，
∴OQ=
| 24 |
| 5 |
在Rt△AQO中由勾股定理可求得AQ=
| 18 |
| 5 |
∵QR∥OB，
∴
| AQ |
| AB |
| QR |
| OB |
| ||
| 10 |
| QR |
| 8 |
解得QR=
| 72 |
| 25 |
∴PM+NE=
| 144 |
| 25 |
点评：本题主要考查切线的性质和判定及相似三角形的判定，在第（2）问中把PM+EN转化为求QR的长是解题的关键．
练习册系列答案
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A、B两船同时从相距450海里的甲、乙两港相向而行，s（海里）表示轮船与甲港的距离，t（分钟）表示轮船行驶的时间，如图所示，l1、l2分别表示两船s与t的关系．已知
=
=
=k（a+b+c≠0），则k=（ ）
| c |
| a+b |
| b |
| a+c |
| a |
| b+c |
| A、0 | ||
| B、1 | ||
| C、2 | ||
D、
|