Question

9．如图，在?ABCD中，AD=4，AB=5，延长AD到点E，连接EC过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）当DF=1时，四边形BCEF是正方形，说明理由；
（3）当$\frac{GF}{GD}$=$\frac{4}{5}$时，四边形BCEF是菱形，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是平行四边形得到EF∥BC，然后根据BF∥CE，证得四边形BCEF是平行四边形；
（2）根据四边形BCEF是正方形求得DF=1时即可得到结论；
（3）根据四边形ABCD是平行四边形得到CD∥AB，利用平行线分线段成比例得到$\frac{GD}{AB}$=$\frac{GF}{BF}$求得$\frac{GF}{GD}$=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{4}{5}$即可．

解答 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EF∥BC．
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形．

（2）当DF=1时，四边形BCEF是正方形．
理由如下：当四边形BCEF是正方形时，BF=BC=4，∠FBC=∠AFB=90°．
∴AF=$\sqrt{AB^2-BF^2}$=$\sqrt{5^2-4^2}$=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4．∴DF=AD-AF=4-3=1．
∴当DF=1时，四边形BCEF是正方形．
故答案为：1．

（3）当$\frac{GF}{GD}$=$\frac{4}{5}$时，四边形BCEF是菱形．
理由如下：当四边形BCEF是菱形时，BF=BC=4．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB．（8分）
∴$\frac{GD}{AB}$=$\frac{GF}{BF}$，即$\frac{GF}{GD}$=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{4}{5}$．
∴当$\frac{GF}{GD}$=$\frac{4}{5}$时，四边形BCEF是菱形．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定及正方形的判定与性质，属于综合题，难度比较大．