Question

6．【定义】
圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
【概念理解】
如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则Rt△ABC 的直角边AC上的伴随圆的半径为2；
【问题探究】
如图2，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
求证：⊙O是Rt△ABC 斜边AB上的伴随圆；
【拓展应用】
如图3，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，直接写出它的所有伴随圆的半径．

Answer 1

分析 【概念理解】
先依据勾股定理求得AC的长，然后依据切线的性质可知：BC=BD=3，设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，OA=4-r，根据勾股定理列方程可得结论；
【问题探究】连接OD，证得OD⊥BC后利用伴随圆的定义证明结论即可；
【拓展应用】
①当O在BC上时，连接OD，过点A作AE⊥BC．由等腰三角形的性质和勾股定理求得AE=4，依据切线的性质可证明OD⊥AB，接下来证明△ODB∽△AEB，由相似三角形的性质可求得圆O的半径；
②当O在AB上且圆O与BC相切时，连接OD、过点A作AE⊥BC，垂足为E．先证明△BOD∽△BAE，由相似三角形的性质可求得圆O的半径，
③当O在AB上且圆O与AC相切时，连接OD、过点B作BF⊥AC，过点A作AE⊥BC，垂足为E．先依据面积法求得BF的长，然后再证明△AOD∽△ABF，由相似三角形的性质可求得圆O的半径；

解答 解：【概念理解】
如图1，∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4．
∵AB是圆O的切线，设切点为D，连接OD，则∠ODA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴BD=BC=3，
∴AD=5-3=2，
设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，OA=4-r，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA²=OD²+AD²，
（4-r）²=r²+2²，
r=1.5，
故答案为：2．

【问题探究】
如图，连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切，
∴⊙O是Rt△ABC 斜边AB上的伴随圆；

【拓展应用】
分三种情况：
①当O在BC上时，如图（1）所示：连接OD，过点A作AE⊥BC．

∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=3．
在△AEB中，由勾股定理可知AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4．
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB．
∴∠BDO=∠BEA=90°．
又∵∠OBD=∠EBA，
∴△ODB∽△AEB．
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OB}{AB}$．
设⊙O的半径为r．在OB=6-r．
∴$\frac{r}{4}=\frac{6-r}{5}$．
∴r=$\frac{8}{3}$．
∴△ABC的BC边上的伴随圆的半径为$\frac{8}{3}$．
②当O在AB上且圆O与BC相切时，如图（2），连接OD、过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵BC与⊙O相切，
∴OD⊥BC．
又∵AE⊥BC，
∴OD∥AE．
∴△BOD∽△BAE．
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{OD}{AE}$．
设⊙O的半径为r，则OB=5-r．
∴$\frac{5-r}{5}=\frac{r}{4}$．
∴r=$\frac{20}{9}$．
③当O在AB上且圆O与AC相切时，如图（3）所示：
连接OD、过点B作BF⊥AC，过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$AC•BF，
∴$\frac{1}{2}$×6×4=$\frac{1}{2}$×5×BF．
∴BF=4.8．
∵AC与⊙O相切，
∴DO⊥AC．
∴DO∥BF．
∴△AOD∽△ABF．
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OD}{BF}$即
$\frac{5-r}{5}=\frac{r}{4.8}$．
∴r=$\frac{120}{49}$．
综上所述，△ABC的伴随圆的半径分为 $\frac{8}{3}$或 $\frac{20}{9}$或 $\frac{120}{49}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质和判定、圆的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，分类讨论是解答【拓展应用】的关键．