Question

18．在△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，交BC延长线于F，DF=6，DE=4，求CD．

Answer 1

分析 首先利用垂直的定义结合相似三角形的判定与性质求出AD的长，再利用直角三角形的性质求出答案．

解答 解：如图所示：∵∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，
∴AD=BD，∠A+∠B=90°，
则∠AED+∠A=90°，
∴∠A=∠BFD，
又∵∠ADE=∠BDF，
∴△BDF∽△EDA，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{BD}{DE}$，
∴AD×BD=4×6，
∴AD=BD=2$\sqrt{6}$，
∴AB=4$\sqrt{6}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质，得出AD，BD的长是解题关键．