Question

7．已知函数y=ax²-4bx+3，
（1）求证：无论a、b为何值，函数图象经过y轴上一个定点；
（2）当a、b满足什么条件时，图象与直线y=1有交点；
（3）若-1＜x＜0，a=1，当函数值y恒大于1时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）与y轴的交点坐标，也就是当x=0时，求得y值，得出交点坐标即可；
（2）图象与直线y=1有交点，也就是两个函数建立的方程有实数根，利用根的判别式解答即可；
（3）把x=-1，x=0，a=1分别代入函数解析式，由函数值y恒大于1建立不等式组求得b的取值范围即可．

解答 证明：（1）∵当x=0时，y=ax²-4bx+3=3，
∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），
∴论a、b为何值，函数图象经过y轴上一个定点（0，3）；
解：（2）∵象与直线y=1有交点，
∴1=ax²-4bx+3，
ax²-4bx+2=0，
∴△=（-4b）²-8a≥0，
解得：a≤2b²．
（3）∵-1＜x＜0，a=1，函数值y恒大于1，
∴1+4b＞1，
解得：b＞0．

点评 此题考查二次函数的性质，掌握二次函数与一次函数的交点问题是解决问题的关键．