Question

2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如下图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　）

• A． $\sqrt{10}$×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²²
• B． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²²
• C． 5×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²²
• D． 10×（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²³

Answer 1

分析 根据点A、D的坐标求出OA、OD的长，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出A₁B，从而求出第二个正方形的边长A₁C=A₁B₁，同理求出第三个正方形的边长A₂C₁=A₂B₂，根据规律求出第2012个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3），
∴OA=1，OD=3，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{10}$）²=10，
∴∠ABA₁=90°，∠OAD+∠BAA₁=90°，
∴∠ODA=∠BAA₁，
∴△ABA₁∽△DOA，
∴$\frac{B{A}_{1}}{OA}$=$\frac{AB}{OD}$，即$\frac{B{A}_{1}}{1}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴BA₁=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴CA₁=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∴第三个正方形的边长：A₂C₁=A₂B₂=（$\frac{4}{3}$）²$\sqrt{10}$，
∴第四个正方形的边长：=（$\frac{4}{3}$）³$\sqrt{10}$，
…，
第2012个正方形的边长：=（$\frac{4}{3}$）²⁰¹¹$\sqrt{10}$，
∴第2012个正方形的面积为[：（$\frac{4}{3}$）²⁰¹¹$\sqrt{10}$]²=10•（$\frac{4}{3}$）⁴⁰²²，
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键，题目的计算量不小．