Question

如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF=6，BC=24．
（1）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
（2）求MN的长．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：几何综合题

分析：（1）连接EM、FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM=FM=

1

2

BC，再根据等腰三角形三线合一的解答；
（2）求出EM、EN，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：（1）EF与MN垂直平分．
证明如下：如图，连接EM、FM，
∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM=FM=

1

2

BC，
∵N是EF的中点，
∴EF与MN垂直平分；

（2）∵EF=6，BC=24，
∴EM=

1

2

BC=

1

2

×24=12，
EN=

1

2

EF=

1

2

×6=3，
由勾股定理得，
MN=

EM2-EN2

=

122-32

=3

15

．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记性质并作辅助线构造成等腰三角形是解题的关键．