Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．
（2）求出∠AOC以及BC，根据S_阴=S_扇形OAC-S_△OAC计算即可．

解答 解：（1）MN是⊙O切线．
理由：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切线．
（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO=$\frac{1}{2}$OC=2，BC=2$\sqrt{3}$
∴S_阴=S_扇形OAC-S_△OAC=$\frac{120π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$$•4•2\sqrt{3}$=$\frac{16π}{3}$-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系、扇形面积、三角形面积等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，扇形的面积公式，属于中考常考题型．