题目内容

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
2
个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．
（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由题意得
-
b
2a
=4
c=12
4a+2b+c=0
，
解得
a=1
b=-8
c=12
，
∴二次函数的解析式为y=x2-8x+12，
点P的坐标为（4，-4）；

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0，
∴x1=2，x2=6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m
则
6k+m=0
4k+m=-4
，
解得
k=2
m=-12

∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP，
∵顶点坐标P（4，-4），
∴OP=4
2

设D（x，2x）则BD2=（2x）2+（6-x）2
当BD=OP时，（2x）2+（6-x）2=32，
解得：x1=
2
5
，x2=2，
当x2=2时，OD=BP=2
5
，四边形OPBD为平行四边形，舍去，
∴当x=
2
5
时四边形OPBD为等腰梯形，
∴当D（
2
5
，
4
5
）时，四边形OPBD为等腰梯形；

（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒
2
个单位长度，运动时间为t秒，则MP=
2
t，
∴PH=t，MH=t，HN=
1
2
（4-t），
∴MN=MH+HN=2+
1
2
t，
∴S=（2+
1
2
t）•t•
1
2
=
1
4
t2+t；
②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
∵MN∥OB
∴△P1EF∽△P1MN，
∴
S△P1EF
S△P1MN
=(
P1G
P1H
)2，
∴
S△P1EF
3
4
t2
=(
2t-4
t
)2，
∴S△P1EF=3t2-12t+12，
∴S=
3
4
t2-（3t2-12t+12）=-
9
4
t2+12t-12，
∴当0＜t≤2时，S=
3
4
t2，
当2＜t＜4时，S=-
9
4
t2+12t-12．
练习册系列答案
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1
2
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已知二次函数y=-
1
4
x2+
3
2
x的图象如图所示．

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如图，已知抛物线y=
1
4
x2+1，直线y=kx+b经过点B（0，2）
（1）求b的值；
（2）将直线y=kx+b绕着点B旋转到与x轴平行的位置时（如图1），直线与抛物线y=
1
4
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