Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c经过原点（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连接MD，已知E点的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）；
（3）延长DM交⊙M于点N，连接ON，OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得四边形EOMD和△DON的面积相等，请求出此时点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线过O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）三点，
∴

c=0 a+b+c=-3 a-b+c=5

，
解得

a=1 b=-4 c=0

；
∴抛物线的解析式为y=x²-4x；

（2）抛物线y=x²-4x与x轴的另一个交点坐标为C（4，0），连接EM；
∴⊙M的半径为2，即OM=DM=2；
∵ED、EO都是⊙M的切线，
∴EO=ED，△EOM≌△EDM；
∴S_{四边形EOMD}=2S_△OME=2×

1

2

OM•OE=2m；

（3）延长DM交⊙M于点N，连接ON，OD，EM，
设点D的坐标为（x₀，y₀），
∵S_△DON=2S_△DOM=2×

1

2

OM×y₀=2y₀，
当S_{四边形EOMD}=S_△DON时，即2m=2y₀，m=y₀；
∵m=y₀，ED∥x轴，
又∵ED为切线，
∴D点的坐标为（2，2）；
∵P在直线ED上，故设P点的坐标为（x，2），
∵P在抛物线上，
∴2=x²-4x，
解得x=2±

6

；
∴P（2+

6

，2）或P（2-

6

，2）为所求．