题目内容

如图,已知抛物线y=
1
4
x2+1,直线y=kx+b经过点B(0,2)
(1)求b的值;
(2)将直线y=kx+b绕着点B旋转到与x轴平行的位置时(如图1),直线与抛物线y=
1
4
x2+1相交,其中一个交点为P,求出P的坐标;
(3)将直线y=kx+b继续绕着点B旋转,与抛物线相交,其中一个交点为P'(如图②),过点P'作x轴的垂线P'M,点M为垂足.是否存在这样的点P',使△P'BM为等边三角形?若存在,请求出点P'的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵直线y=kx+b过点B(0,2),
∴b=2.

(2)y=kx+b绕点B旋转到与x轴平行,即y=2,
∴P(2,2)或P(-2,2),
依题意有:
1
4
x2+1=2,
x=±2,
∴P(2,2)或P(-2,2).

(3)假设存在点P'(x0,y0),使△P'BM为等边三角形,
如图,则∠BP'M=60°
P'M=y0P'B=2(P'M-2)=2(y0-2)
且P'M=P'B
即y0=2(y0-2)
y0=4
又点P′在抛物线y=
1
4
x2+1上
1
4
x2+1=4
x=±2
3

∴当直线y=kx+b绕点B旋转时与抛物线y=
1
4
x2+1相交,存在一个交点P′(2
3
,4)或P′(-2
3
,4)
使△P'BM为等边三角形.
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