题目内容
在梯形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AC,∠B=45°,AD=2,BC=6,以BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点A在y轴上.
(1)求过A、D、C三点的抛物线的解析式.
(2)求△ADC的外接圆的圆心M的坐标,并求⊙M的半径.
(3)E为抛物线对称轴上一点,F为y轴上一点,求当ED+EC+FD+FC最小时,EF的长.
(4)设Q为射线CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样的点P、Q,使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似?若存在,直接写出点P、Q的坐标;若不存在,则说明理由.
(1)求过A、D、C三点的抛物线的解析式.
(2)求△ADC的外接圆的圆心M的坐标,并求⊙M的半径.
(3)E为抛物线对称轴上一点,F为y轴上一点,求当ED+EC+FD+FC最小时,EF的长.
(4)设Q为射线CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样的点P、Q,使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似?若存在,直接写出点P、Q的坐标;若不存在,则说明理由.
(1)由题意知C(3,0)、A(0,3).
如图1,过D作x轴垂线,由矩形性质得D(2,3).
由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).
将(0,3)代入得a=-1,所以y=-x2+2x+3.
(2)由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.
由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC,即yOM=x,
∴M(1,1).
连MC得MC=
,即半径为
.
(3)如图2,由对称性可知:当ED+EC+FD+FC最小时,E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点,
∵∠B=45°,∠AOB=90°,
∴AO=BO=3,故B点坐标为:(-3,0),
再利用D(2,3),代入y=ax+b,得:
,
解得:
,
故BD直线解析式为:y=
x+
,
当x=0,y=
,根据对称轴为直线x=1,则y=2,
故F(0,
)、E(1,2),
EF=
=
=
.
(4)可得△ADC中,AD=2,AC=3
,DC=
.
假设存在,显然∠QCP<90°,则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD.
如图3,当∠QCP=45°时,OR=OC=3,
则R点坐标为(0,-3),将C,R代入y=ax+b得出:
,
解得:
,
这时直线CP的解析式为y=x-3,同理可得另一解析式为:y=-x+3.
当直线CP的解析式为y=x-3时,
则x-3=-x2+2x+3,
解得:x1=-2,x2=3,
可求得P(-2,-5),
故PC=
=5
.
设CQ=x,则
=
或
=
,
解得:x=
或x=15.
∴Q(-
,0)或(-12,0).
当y=-x+3即P与A重合时,CQ=y,则
=
,
即
=
,或
=
,
解得CQ=2或9,
故Q(1,0)或(-6,0).
如图4,当∠QCP=∠ACD时,设CP交y轴于H,连接ED,则ED⊥AC,
∴DE=
,EC=2
,
易证:△CDE∽△CHQ,
所以
=
,
∴HO=
.
可求HC的解析式为y=
x-
.
联解
,
得P(-
,-
),PC=
.
设CQ=x,知
=
或
=
,
∴x=
或x=
,
∴Q(-
,0)或(-
,0).
同理当H在y轴正半轴上时,HC的解析式为y=-
x+
.
∴P’(-
,
),
∴PC=
.
∴
=
或
=
如图1,过D作x轴垂线,由矩形性质得D(2,3).
由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).
将(0,3)代入得a=-1,所以y=-x2+2x+3.
(2)由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.
由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC,即yOM=x,
∴M(1,1).
连MC得MC=
5 |
5 |
(3)如图2,由对称性可知:当ED+EC+FD+FC最小时,E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点,
∵∠B=45°,∠AOB=90°,
∴AO=BO=3,故B点坐标为:(-3,0),
再利用D(2,3),代入y=ax+b,得:
|
解得:
|
故BD直线解析式为:y=
3 |
5 |
9 |
5 |
当x=0,y=
9 |
5 |
故F(0,
9 |
5 |
EF=
ET2+FT2 |
12+(
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| ||
5 |
(4)可得△ADC中,AD=2,AC=3
2 |
10 |
假设存在,显然∠QCP<90°,则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD.
如图3,当∠QCP=45°时,OR=OC=3,
则R点坐标为(0,-3),将C,R代入y=ax+b得出:
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解得:
|
这时直线CP的解析式为y=x-3,同理可得另一解析式为:y=-x+3.
当直线CP的解析式为y=x-3时,
则x-3=-x2+2x+3,
解得:x1=-2,x2=3,
可求得P(-2,-5),
故PC=
52+52 |
2 |
设CQ=x,则
2 | ||
3
|
x | ||
5
|
2 | ||
3
|
5
| ||
x |
解得:x=
10 |
3 |
∴Q(-
1 |
3 |
当y=-x+3即P与A重合时,CQ=y,则
AD |
AC |
QC |
AC |
即
2 | ||
3
|
y | ||
3
|
2 | ||
3
|
3
| ||
y |
解得CQ=2或9,
故Q(1,0)或(-6,0).
如图4,当∠QCP=∠ACD时,设CP交y轴于H,连接ED,则ED⊥AC,
∴DE=
2 |
2 |
易证:△CDE∽△CHQ,
所以
HO | ||
|
3 | ||
2
|
∴HO=
3 |
2 |
可求HC的解析式为y=
1 |
2 |
3 |
2 |
联解
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得P(-
3 |
2 |
9 |
4 |
9 |
4 |
5 |
设CQ=x,知
| ||
x |
3
| ||||
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| ||||
|
3
| ||
x |
∴x=
15 |
4 |
27 |
4 |
∴Q(-
3 |
4 |
15 |
4 |
同理当H在y轴正半轴上时,HC的解析式为y=-
1 |
2 |
3 |
2 |
∴P’(-
1 |
2 |
7 |
4 |
∴PC=
7 |
4 |
5 |
∴
| ||
CQ |
3
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| ||||
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3
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