Question

已知二次函数y=-

1

4

x2+

3

2

x的图象如图所示．

（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移k个单位，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
（4）在（2）的条件下，平行于x轴的直线x=t（0＜t＜k）分别交AC、BC于E、F两点，试问在x轴上是否存在点P，使得△PEF是等腰直角三角形？若存在，请直接写P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=-

1

4

x²+

3

2

x=-

1

4

（x-3）²+

9

4

，
顶点坐标为（3，

9

4

），
所以点D坐标为（3，0）；

（2）抛物线沿它的对称轴向上平移k个单位得到的函数解析式为
y=-

1

4

x²+

3

2

x+k
令y=0，即-

1

4

x²+

3

2

x+k=0，
解得x₁=3-

9+4k

，x₂=3+

9+4k

，
即A（3-

9+4k

，0）、B（3+

9+4k

，0），C（0，k）；
在Rt△AOC中
AC²=OA²+OC²=（

9+4k

-3）²+k²；
BC²=OB²+OC²=（

9+4k

+3）²+k²；
AB²=（2

9+4k

）²=AC²+BC²=（

9+4k

-3）²+k²+（

9+4k

+3）²+k²；
整理得k（k-4）=0
k=0（不合题意），k=4；
∴抛物线的解析式y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（3）由抛物线的解析式y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；
得出M（3，

25

4

），A（-2，0），B（8，0），C（0，4）
如图，

连接MC、CD，根据勾股定理
求得MC=

15

4

，DC=5，MD=

25

4

，
∵MC2+CD2=MD2
由勾股定理逆定理△CMD为直角三角形，且DC⊥CM，
又∵DC=DA=DB，
∴直线CM与⊙D相切；

（4）存在.P1(-

4

7

，0)，P2(

4

3

，0)，P3(

16

7

，0)．