Question

9．如图1，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的解析式分别为：y=$\frac{3}{4}$x和y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{3}$．
（1）求A点坐标和正方形OABC的边长；
（2）如图2，现有一动点P从C点出发，沿线段CB向终点B运动．
①当P点位于y轴上时，求△OCP的面积；
②在P点的运动过程中，将△AOP沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，直接写出满足条件的P点坐标．
（3）若正方形以每秒$\frac{5}{3}$个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落在x轴上时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立方程组求得点A的坐标即可得到结果；
（2）①如图2中，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．利用全等三角形的性质求出点C、B的坐标，求出直线BC的解析式即可解决问题；
②有三种情形：当P与C重合时，△POA沿PA翻折可得菱形，此时P（-3，4）；
当P与B重合时，△POA沿PO翻折可得菱形，此时P（1，7）；
当P是BC中点时，PO=PA，△POA沿OA翻折可得菱形，此时P（-1，$\frac{11}{2}$），
（3）①当点A运动到点O时，t=3，当0＜t≤3时，设O′C′交x轴于点D，根据三角函数的定义tan∠DOO′=$\frac{3}{4}$，即 $\frac{DO′}{OO′}$=$\frac{DO′}{\frac{5}{3}t}$=$\frac{3}{4}$，求得DO′=$\frac{5}{4}$t即可得到S=$\frac{1}{2}$DO′•OO′=$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{4}$t•$\frac{5}{3}$t=$\frac{25}{24}$t²；②当点C运动到x轴上时，t=（5×$\frac{4}{3}$）÷$\frac{5}{3}$=4，当3＜t≤4时，设A′B′交x轴于点E由于A′O=$\frac{5}{3}$t-5，于是得到A′E=$\frac{3}{4}$A′O=$\frac{5t-15}{4}$即可得到S=$\frac{1}{2}$（A′E+O′D）•A′O′=$\frac{1}{2}$（ $\frac{5t-15}{4}$+$\frac{5}{4}$t）•5=$\frac{50t-75}{8}$．

解答 解：（1）联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（4，3），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴正方形OABC的边长为5；

（2）①如图2中，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．

∵CO=OA，∠CON=∠OAM，∠CNO=∠AMO，
∴△CON≌△OAM，
∴ON=AM=3，CN=OM=4，
∴C（-3，4），
∵点O向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到C，
∴由A（4，3），可得B（1，7），
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{4}$，
∴P（0，$\frac{25}{4}$）．

②有三种情形：当P与C重合时，△POA沿PA翻折可得菱形，此时P（-3，4）；
当P与B重合时，△POA沿PO翻折可得菱形，此时P（1，7）；
当P是BC中点时，PO=PA，△POA沿OA翻折可得菱形，此时P（-1，$\frac{11}{2}$），
综上所述，当P（-3，4）或（1，7）或（-1，$\frac{11}{2}$）时，将△AOP沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形．

∴当k=2或k=4时将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形；

（3）①当点A运动到点O时，t=3，
当0＜t≤3时，设O′C′交x轴于点D，
则tan∠DOO′=$\frac{3}{4}$，即 $\frac{DO′}{OO′}$=$\frac{DO′}{\frac{5}{3}t}$=$\frac{3}{4}$，
∴DO′=$\frac{5}{4}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$DO′•OO′=$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{4}$t•$\frac{5}{3}$t=$\frac{25}{24}$t²，
②当点C运动到x轴上时，t=（5×$\frac{4}{3}$）÷$\frac{5}{3}$=4，
当3＜t≤4时，设A′B′交x轴于点E，
∵A′O=$\frac{5}{3}$t-5，
∴A′E=$\frac{3}{4}$A′O=$\frac{5t-15}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$（A′E+O′D）•A′O′=$\frac{1}{2}$（ $\frac{5t-15}{4}$+$\frac{5}{4}$t）•5=$\frac{50t-75}{8}$．

点评 本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．