Question

14．操作：正方形ABCD的边长为4，P是直线CD上一动点，将三角尺的直角顶点与点P重合，一条直角边始终经过点B，另一直角边所在的直线与射线AD交于点E，设CP=x，DE=y．探究：
（1）如图（1），当点P在正方形ABCD的边CD上时，求证：△BPC∽△PED；
（2）当点P在CD的延长线上时，求y关于x的函数关系式；
（3）当DE=1时，求点P的位置．

Answer 1

分析 （1）证根据余角的性质得到∠DPE=∠BPC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{PD}{BC}$=$\frac{DE}{CP}$，代入数据即可得到结论；
（3）当点P在正方形ABCD的边CD上时，如图1，根据相似三角形的性质得到CP=2，当点P在CD的延长线上时，如图2，列方程求得结果．

解答 （1）证明：∵∠EPB=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°
∵∠PBC+∠BPC=90°，
∴∠DPE=∠BPC，
∵∠D=∠C，
∴△BPC∽△PED；
（2）解：∵∠EPB=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°
∵∠PBC+∠BPC=90°，
∴∠DPE=∠BPC，
∵∠PDE=∠BCP，
∴△BPC∽△PED，
∴$\frac{PD}{BC}$=$\frac{DE}{CP}$，
∵CP=x，DE=y，BC=CD=4，
∴PD=x-4，
∴$\frac{x-4}{4}$=$\frac{y}{x}$，
∴y=$\frac{{x}^{2}}{4}$-x；
（3）解：当点P在正方形ABCD的边CD上时，如图1，△BPC∽△PED，
∴$\frac{DE}{CP}$=$\frac{DP}{BC}$，
∴$\frac{1}{CP}$=$\frac{4-CP}{4}$，
∴CP=2，
当点P在CD的延长线上时，如图2，DE=y=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$-x=1，
解得：x=2±2$\sqrt{2}$，
由于CP=x＞4，
即CP=2+2$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了求函数解析式，相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想的应用，根据已知得出不同图形进行讨论得出是解题关键．