Question

4．阅读下列材料，然后解答后面的问题．
我们知道方程2x-3y=12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x+3y=12，得y=$\frac{12-2x}{3}$=4-$\frac{2}{3}$x，（x、y为正整数）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{12-2x＞0}\end{array}\right.$ 则有0＜x＜6．又y=4-$\frac{2}{3}$x为正整数，则$\frac{2}{3}$x为整数．
由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4-$\frac{2}{3}$x=2．
∴2x+3y=12的正整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$
问题：（1）若$\frac{6}{x-2}$为自然数，则满足条件的x值有4个
（2）请你写出方程2x+y=5的所有正整数解：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$
（3）若（x+3）y=8，请用含x的式子表示y，并求出它的所有整数解．

Answer 1

分析 （1）根据已知代数式为自然数，确定出x的值即可；
（2）用x表示出y，确定出方程的正整数解即可；
（3）用x表示出y，确定出方程的整数解即可．

解答 解：（1）由题意得：x-2=1，x-2=2，x-2=3，x-2=6，
解得：x=3，x=4，x=5，x=8，共4个；
故答案为：4；
（2）方程整理得：y=-2x+5，
当x=1时，y=3；当x=2时，y=1，
则方程的正整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$； 
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$
（3）根据题意得：y=$\frac{8}{x+3}$，
根据题意得：x+3=1，x+3=2，x+3=4，x+3=8，
解得：x=-2，x=-1，x=1，x=5，
相应的y=8，y=4，y=2，y=1，
∴它的所有整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=1}\end{array}\right.$．

点评 此题考查了解二元一次方程，以及二元一次方程的解，将一个未知数看做已知数表示出另一个未知数是解本题的关键．