Question

2．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab²-2ab+a．  如：1☆3=1×3²-2×1×3+1=4．
（1）求（-2）☆5的值；
（2）若$\frac{a+1}{2}$☆3=8，求a的值；
（3）若m=2☆x，n=（1-x）☆3（其中x为有理数），试比较大小m＞或=或＜n（填“＞”、“＜”或“=”）．

Answer 1

分析 （1）根据☆的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（-2）☆5的值是多少即可．
（2）根据☆的含义，可得$\frac{a+1}{2}$☆3=$\frac{a+1}{2}$×3²-2×$\frac{a+1}{2}$×3+$\frac{a+1}{2}$=8，据此求出a的值是多少即可．
（3）首先根据☆的含义，以及m=2☆x，n=（1-x）☆3（其中x为有理数），分别求出m、n的值各是多少；然后比较大小即可．

解答 解：（1）（-2）☆5
=（-2）×5²-2×（-2）×5+（-2）
=-50+20-2
=-32；
（2）$\frac{a+1}{2}$☆3
=$\frac{a+1}{2}$×3²-2×$\frac{a+1}{2}$×3+$\frac{a+1}{2}$
=4.5a+4.5-3a-3+0.5a+0.5
=2a+2
=8
解得：a=3；
（3）m=2☆x
=2x²-2×2x+2
=2x²-4x+2
n=（1-x）☆3
=（1-x）×3²-2×（1-x）×3+（1-x）
=9-9x-6+6x+1-x
=4-4x
∵m-n=（2x²-4x+2）-（4-4x）
=2x²-2，
当x＞1或x＜-1时，2x²-2＞0，即m＞n，
当x=±1时，2x²-2=0，即m=n
当-1＜x＜1时，2x²-2＜0，即m＜n，
故答案为：＞或=或＜．

点评 此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．