Question

如图，等边△ABC的边长是10，AD是BC边上的高，在AD上取点O，以O为圆心作圆，与AB交于G，与AD交于H，过B和C分别作圆的切线，切点分别为E、F．

（1）求证：BE=CF；
（2）若⊙O的半径是5（

3

-1），求点H到直线OB的距离；
（3）若点Q是⊙O上任意一点，直接写出△AGQ面积最大时∠AOQ的值．

Answer 1

考点：圆的综合题,三角形的外角性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理,切线的性质,特殊角的三角函数值

专题：综合题

分析：（1）连接OE、OF，OB，OC，如图1．要证BE=CF，只要证到Rt△OEB≌Rt△OFC即可．
（2）过点H作HN⊥OB于N，如图2．在Rt△ONH中，OH已知，要求HN，只需求出sin∠NOH，易证BD=OD，则∠BOD=45°，问题得以解决．
（3）显然，当点Q在优弧

AEG

上，且QO⊥AG时，△AGQ面积最大．延长QO交AG于R，如图3，利用三角形的外角性质即可解决问题．

解答：解：（1）证明：连接OE、OF，OB，OC，如图1．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD．
∴OB=OC．
∵BE、CF与⊙O分别相切于点E、F，
∴OE⊥BE，OF⊥CF．
∴∠OEB=∠OFC=90°．
在Rt△OEB和Rt△OFC中，

OE=OF OB=OC

．
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL）．
∴BE=CF．

（2）过点H作HN⊥OB于N，如图2．

∵AB=10，BD=

1

2

BC=5，
∴AD=5

3

．
∵OA=5（

3

-1），
∴OD=AD-OA=5．
∴BD=OD=5．
∴∠BOD=∠OBD=45°．
在Rt△ONH中，
HN=OH•sin∠NOH=5（

3

-1）×

2

2

=

5 6 -5 2

2

．
∴点H到直线OB的距离为

5 6 -5 2

2

．

（3）当点Q在优弧

AEG

上，且QO⊥AG时，△AGQ面积最大．
延长QO交AG于R，如图3．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=30°．
∵QO⊥AG，∴∠ARQ=90°．
∴∠AOG=∠ARO+∠RAO=90°+30°=120°．
∴当△AGQ面积最大时，∠AOQ的值为120°．

点评：本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识，有一定的综合性．