Question

4．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是1．

Answer 1

分析 先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$ab，最后根据a²+b²=4，判断$\frac{1}{2}$ab的最大值即可．

解答 解：延长EP交BC于点F，
∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，
∴∠EPC=150°，
∴∠CPF=180°-150°=30°，
∴PF平分∠BPC，
又∵PB=PC，
∴PF⊥BC，
设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则
CF=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$b，a²+b²=2²=4，
∵△APE和△ABD都是等边三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，
∴∠EAD=∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCB（SAS），
∴EP=AP=CD，
∴四边形CDEP是平行四边形，
∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$ab，
又∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，
∴2ab≤a²+b²=4，
∴$\frac{1}{2}$ab≤1，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
故答案为：1

点评 本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．