Question

12．已知如图所示△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在△ABC内，且PA=$\sqrt{3}$，PB=1，PC=1，则∠BPC=135°．

Answer 1

分析 利用∠ACB=90°，AC=BC可把△CAP绕点C逆时针旋转90°得到△CBD，如图，则利用旋转的性质得CP=CD，BD=AP=$\sqrt{3}$，∠PCD=90°，于是可判断△PCD为等腰直角三角形得到PD=$\sqrt{2}$CP=$\sqrt{2}$，∠CPD=45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBD为直角三角形得到∠BPD=90°，然后计算∠BPD+∠CPD即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴把△CAP绕点C逆时针旋转90°得到△CBD，如图，
∴CP=CD，BD=AP=$\sqrt{3}$，∠PCD=90°，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=$\sqrt{2}$CP=$\sqrt{2}$，∠CPD=45°，
在△BDP中，∵PB=1，PD=$\sqrt{2}$，DB=$\sqrt{3}$，
而1²+（$\sqrt{2}$）²=（$\sqrt{3}$）²，
∴PB²+DP²=BD²，
∴△PBD为直角三角形，∠BPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=90°+45°=135°．
故答案为135°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是把∠BPC分为两个角，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理的逆定理求出这两个角的度数．