Question

20．在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=7，则b=7$\sqrt{3}$．
在△ABC中，∠C=90°，cosB=$\frac{2}{3}$，则a：b：c=2：$\sqrt{5}$：3．
在△ABC中，∠C=90°，a+b+c=48，tanA=$\frac{3}{4}$，则a=12，S_△ABC=96．

Answer 1

分析 根据tanB=$\frac{b}{a}$，代入计算即可求出b；根据cosB=$\frac{2}{3}$，设BC=2k，AB=3k，得出AC=$\sqrt{5}$k，代入a：b：c计算即可；根据tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，设BC=3x，AC=4x，得出AB=5x，根据a+b+c=48，列出方程，求出x，从而得出a、b，最后根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab代入计算即可．

解答 解：∵∠C=90°，∠B=60°，a=7，
∴tanB=$\frac{b}{a}$=$\frac{b}{7}$，
∴b=7$\sqrt{3}$；
∵∠C=90°，cosB=$\frac{2}{3}$，
设BC=2k，AB=3k，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$k，
∴a：b：c=2k：$\sqrt{5}$k：3k=2：$\sqrt{5}$：3；
∵tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴设BC=3x，AC=4x，
∴AB=5x，
∵a+b+c=48，
∴3x+4x+5x=48，
x=4，
∴a=4×3=12，
b=4×4=16，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×12×16=96，
故答案为：7$\sqrt{3}$；2：$\sqrt{5}$：3；12，96．

点评 此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、特殊角的三角函数值，关键是熟练运用有关知识列出算式．