Question

5．如图，点P是?ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：
①S₁+S₃=S₂+S₄     
②如果S₄＞S₂，则S₃＞S₁ 
③若S₃=2S₁，则S₄=2S₂
④若S₁-S₂=S₃-S₄，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的结论的序号是①④（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析 根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S₁+S₄=S₂+S₃=S_△ABD=S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，即可判断④．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，
则S₁=$\frac{1}{2}$ABh₁，S₂=$\frac{1}{2}$BCh₂，S₃=$\frac{1}{2}$CDh₃，S₄=$\frac{1}{2}$ADh₄，
∵$\frac{1}{2}$ABh₁+$\frac{1}{2}$CDh₃=$\frac{1}{2}$AB•h_AB，$\frac{1}{2}$BCh₂+$\frac{1}{2}$ADh₄=$\frac{1}{2}$C•h_BC，
又∵S_{平行四边形ABCD}=AB•h_AB=BC•h_BC
∴S₂+S₄=S₁+S₃，故①正确；
根据S₄＞S₂只能判断h₄＞h₂，不能判断h₃＞h₁，即不能得出S₃＞S₁，∴②错误；
根据S₃=2S₁，能得出h₃=2h₁，不能推出h₄=2h₂，即不能推出S₄=2S₂，∴③错误；
∵S₁-S₂=S₃-S₄，
∴S₁+S₄=2₂+S₃=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，
此时S₁+S₄=S₂+S₃=S_△ABD=S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，
即P点一定在对角线BD上，
∴④正确；
故答案为：①④．

点评 本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，以及平行四边形对角线上点的判定的应用，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．