Question

13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点P（x，y）是直线y=-x+6上一动点，O是坐标原点．
（1）求△OPA的面积S与x的函表达式；
（2）当P点坐标为多少时，S=10？
（3）在直线y=-x+6上求一点Q，使△QOA是以OA为底边的等腰三角形；（在图中作出Q点，并写出Q点坐标）
（4）在直线y=-x+6上点M的坐标，使△MOA是以OA为直角边的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出OA的长，根据一次函数的性质和三角形面积公式列出△OPA的面积S与x的函数关系式；
（2）把S=10代入关系式，解方程即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和作法进行解答；
（4）分∠MOA=90°和∠OAM两种情况，根据一次函数的性质解答即可．

解答 解：（1）∵点A（4，0），O是坐标原点，
∴OA=4，
∵点P（x，y）是第一象限直线y=-x+6上的点，
∴S=$\frac{1}{2}$×OA×y=$\frac{1}{2}$×4×（-x+6）=-2x+12；
（2）当S=10时，-2x+12=10，
∴x=1，y=-x+6=5，
∴P（1，5）；
（3）作线段OA的垂直平分线交直线y=-x+6于点Q，则点Q即为所求，
∵OA=4，
∴点Q的横坐标为2，
当x=2时，y=-x+6=4，
则点Q的坐标为（2，4）；
（4）当∠MOA=90°时，点M的坐标为（0，4），
当∠OAM=90°时，点M的横坐标为4，
则y=-x+6=2，
点M的坐标为（4，2）．

点评 本题考查的是一次函数图象和性质、坐标与图形的关系以及线段垂直平分线的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．