Question

1．如图：已知二次函数y=-x²+bx+c图象分别交x轴于A（-$\frac{1}{2}$，0）、B（$\sqrt{5}$，0）两点，交y轴于点C，过B、C两点作直线BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）点D为抛物线位于第一象限部分上的一动点，且S_△BCD=$\frac{5}{8}$$\sqrt{5}$，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，经过点D的直线DG平分△BCD的面积且交BC于点G；
①点E为直线DG位于第四象限上一动点，且满足∠BEC=90°，求点E坐标；
②在①的条件下，作点D关于直线BC的对称点F，连结FE，求证：CE平分∠FED．

Answer 1

分析 （1）由二次函数y=-x²+bx+c图象分别交x轴于A（-$\frac{1}{2}$，0）、B（$\sqrt{5}$，0）两点，可得抛物线点的解析式；
（2）根据题意可以设出点D的坐标，根据点D为抛物线位于第一象限部分上的一动点，且S_△BCD=$\frac{5}{8}$$\sqrt{5}$画出相应的图形，从而可以得到点D的坐标；
（3）①由（2）可得点D的坐标，然后根据题意画出相应的图形，从而可以求得点E的坐标；
②根据题意可以画出相应的图形，根据前面的已知条件可以求得点F的坐标，从而可以求得点C到直线EF的距离和直线DE的距离，从而可以解答本题．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c图象分别交x轴于A（-$\frac{1}{2}$，0）、B（$\sqrt{5}$，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-（-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）×b+c}\\{0=-（\sqrt{5}）^{2}+\sqrt{5}×b+c}\end{array}\right.$
解得，b=$\sqrt{5}-\frac{1}{2}$，c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴抛物线的解析式为：y=$-{x}^{2}+（\sqrt{5}-\frac{1}{2}）x+\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）∵y=$-{x}^{2}+（\sqrt{5}-\frac{1}{2}）x+\frac{\sqrt{5}}{2}$
∴x=0时，y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
即点C的坐标为：（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）．
∵B（$\sqrt{5}$，0），
设过点B、C两点的直线解析式为：y=kx+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{\sqrt{5}}{2}}\\{k×\sqrt{5}+b=0}\end{array}\right.$
解得，k=$-\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴y=$-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{5}}{2}$．
设点D的坐标为：（x，$-{x}^{2}+（\sqrt{5}-\frac{1}{2}）x+\frac{\sqrt{5}}{2}$）．
如下图一所示：过点D作DM⊥x轴，交BC于点M．

则点设点M的坐标为：（x，$-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{5}}{2}$）．
∴DM=$-{x}^{2}+（\sqrt{5}-\frac{1}{2}）x+\frac{\sqrt{5}}{2}$-（$-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{5}}{2}$）=-${-x}^{2}+\sqrt{5}x$．
∴${S}_{△BCD}=\frac{DM×（{x}_{B}-{x}_{C}）}{2}$=$\frac{（-{x}^{2}+\sqrt{5}x）×（\sqrt{5}-0）}{2}=\frac{5\sqrt{5}}{8}$．
解得，x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$-{x}^{2}+（\sqrt{5}-\frac{1}{2}）x+\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+5}{4}$．
即点D的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{\sqrt{5}+5}{4}$）．
（3）①如下图二所示：

∵点M在直线BC上，横坐标为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴点M的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{\sqrt{5}}{4}$）．
∵经过点D的直线DG平分△BCD的面积且交BC于点G，OB=$\sqrt{5}$，
∴此时点G与点M重合，即点G的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{\sqrt{5}}{4}$）．
∵点E为直线DG位于第四象限上一动点，且满足∠BEC=90°，
∴设点E的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{2}，a$）（a＜0）．
作EH⊥y轴交y轴于点H，作BN⊥EH交HE的延长线于点N，
∴△CHE∽△ENB．
∴$\frac{CH}{HE}=\frac{EN}{BN}$．
即$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}-a}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{-a}$．
解得，${a}_{1}=\frac{\sqrt{5}-5}{4}，{a}_{2}=\frac{\sqrt{5}+5}{4}$．
∵a＜0，
∴点E的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{\sqrt{5}-5}{4}$）．
②如下图三所示：

设点F的坐标为（x，y），
∵点D和点F关于直线BC：y=$-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{5}}{2}$对称，点D为（$\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{\sqrt{5}+5}{4}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-\frac{\sqrt{5}+5}{4}}{x-\frac{\sqrt{5}}{2}}=2}\\{-\frac{1}{2}×\frac{x+\frac{\sqrt{5}}{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{y+\frac{\sqrt{5}+5}{4}}{2}}\end{array}\right.$
解得，x=$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$，y=$\frac{\sqrt{5}-3}{4}$．
即点F的坐标为（$\frac{\sqrt{5}-2}{2}，\frac{\sqrt{5}-3}{4}$）．
∵点E的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{\sqrt{5}-5}{4}$），设过点EF的直线的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{5}}{2}k+b=\frac{\sqrt{5}-5}{4}}\\{\frac{\sqrt{5}-2}{2}k+b=\frac{\sqrt{5}-3}{4}}\end{array}\right.$
解得，k=$-\frac{1}{2}$，b=$\frac{2\sqrt{5}-5}{4}$．
∴过点EF的直线的解析式为：y=$-\frac{1}{2}x+\frac{2\sqrt{5}-5}{4}$．
∴点C（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）到直线EF的距离为：$\frac{|-\frac{1}{2}×0-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{2\sqrt{5}-5}{4}|}{\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
点C到直线DE的距离为：$\frac{\sqrt{5}}{2}-0=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∵点C（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）到直线EF的距离等于点C到直线DE的距离，
∴点C在∠FED的平分线上．
∴CE平分∠FED．

点评 本题考查二次函数的解析式、动点问题，两直线互相垂直时k的关系，解题的关键是能根据题意画出相应的图形，找出所求结论或者问题需要的条件．