Question

15．已知抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c．
（1）若抛物线与x轴总有交点，求c的取值范围；
（2）设抛物线与x轴两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₂＞x₁，若x₂-x₁=5，求c的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线与y轴的交点为C，抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c与x轴总有交点，由判别式可得c的取值范围；
（2）根据抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c与x轴两个交点，由根与系数的关系和x₂-x₁=5，得到关于c的方程，解方程即可求解；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c与x轴总有交点，
∴△=（-$\frac{3}{2}$）²-4×（-$\frac{1}{2}$）c=$\frac{9}{4}$+2c≥0，
解得c≥-$\frac{9}{8}$，
∴c的取值范围是c≥-$\frac{9}{8}$；

（2）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$x+c与x轴两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}$=-3，x₁•x₂=$\frac{c}{-\frac{1}{2}}$=-2c，
∴（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9+8c=25，
解得c=2；

（3）①由（2）可知OA=4，OB=1，OC=2，
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{OB}{OC}$，
又∵∠COA=∠BOC=90°，
∴△ABC～△ACC～△CBO，
∴C点就符合题意，即M₁（0，2）；
②根据抛物线的对称性可知，点（-3，2）也符合题意，即M₂（-3，2）；
③当点M在第四象限时，设$M（{n，-\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}n+2}）$，则N（n，0），
∴$MN=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2，AN=n+4$
当$\frac{MN}{AN}=\frac{1}{2}$时，$MN=\frac{1}{2}AN$，
∴$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2=\frac{1}{2}（{n+4}）$，
解得：n₁=-4（舍去），n₂=2，
即得到M₃（2，-3）；
④当$\frac{MN}{AN}=\frac{2}{1}$时，MN=2AN，
∴$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-2=2（{n+4}）$
解得：n₁=-4（舍去），n₂=5，
即得到M₄（5，-18）．
综上所述：符合题意的点有四个，它们是：M₁（0，2）、M₂（-3，2）、M₃（2，-3）、M₄（5，-18）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及判别式、根与系数的关系的知识点，利用相似三角形的性质得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．