Question

16．如图，二次函数y=x²+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为$\frac{5}{4}$．
（1）求A、B两点的坐标和该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为$\frac{5}{4}$，可求得AB的长，然后设点A的坐标为（a，0），利用交点式抛物线得解析式y=（x-a）（x-a-$\frac{5}{2}$），再把点C（0，-1）代入即可求得答案；
（2）由（1）易证得△AOC∽△COB，即可得△ABC是以AB为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB，继而求得答案；
（3）分别从AD∥BC与BD∥AC，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵OC=1，△ABC的面积为$\frac{5}{4}$，
∴AB=$\frac{5}{2}$．
设点A的坐标为（a，0），那么点B的坐标为（a+$\frac{5}{2}$，0）．
设抛物线的解析式为：y=（x-a）（x-a-$\frac{5}{2}$），
代入点C（0，-1），得a（a+$\frac{5}{2}$）=-1．
解得：a=-$\frac{1}{2}$或a=-2．
∵二次函数的解析式y=x²+px+q中，p＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧．
∴点A、B的坐标分别为（-$\frac{1}{2}$，0），（2，0）．
∴抛物线的解析式为y=（x+$\frac{1}{2}$）（x-2）=x²-$\frac{3}{2}$x-1．

（2）如图2，∵OA•OB=1，OC²=1，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠OBC，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB．
∴m的取值范围是-$\frac{5}{4}$≤m≤$\frac{5}{4}$．

（3）设点D的坐标为（x，（x+$\frac{1}{2}$）（x-2））．
①如图3，过点A作BC的平行线交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．
∵tan∠DAB=tan∠OBC，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{（x+\frac{1}{2}）（x-2）}{x+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$．
解得x=$\frac{5}{2}$．
此时点D的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
过点B作AC的平行线交抛物线于D，过点D作DF⊥x轴于F．
∵tan∠DBF=tan∠CAO，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{OC}{OA}$=2，
∴$\frac{（x+\frac{1}{2}）（x-2）}{2-x}$=2．
解得x=-$\frac{5}{2}$．
此时点D的坐标为（-$\frac{5}{2}$，9）．
综上所述，当D的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，9）时，以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及三角函数等知识．注意分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．