Question

如图，⊙O是以等腰Rt△ABC的斜边AB为直径的圆，点P是BA的延长线上的一点，过点P作⊙O的一条切线，切点为点Q，∠QPB的平分线交AC、BC于点E、F．
（1）求证：P、A、E、Q四点共圆．
（2）若AE=a，BF=b，求EF的长．

Answer 1

考点：四点共圆,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,圆内接四边形的性质,切线的性质

专题：综合题

分析：（1）连接OQ、QE、QA，如图1，要证P、A、E、Q四点共圆，只需证到∠PQA=∠PEA，易证∠PEA=45°-

1

2

∠QPO，只需证到∠PQA=45°-

1

2

∠QPO，只需将∠PQA转化为∠OQA，将∠OQA转化为∠AOQ，将∠AOQ转化为∠QPO即可解决问题；
（2）连接OE、OF、OC，如图2，由P、A、E、Q四点共圆，∠QPE=∠EPA可得EQ=EA，从而证到△AEO≌△QEO，则有∠AOE=∠QOE，由此可得到∠FEO=45°=∠FCO，由此可得C、E、O、F四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠EOF=90°，进而可证到△AEO≌△CFO，从而有CF=AE=a，进而可得CE=b，然后在Rt△ECF中运用勾股定理就可求出EF的长．

解答：解：（1）连接OQ、QE、QA，如图1．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∵PF平分∠QPO，
∴∠QPE=∠EPA=

1

2

∠QPO．
∵PQ是⊙O的切线，
∴∠PQO=90°，
∴∠QOP=90°-∠QPO．
∵OQ=OA，
∴∠AQO=∠QAO=

1

2

（180°-∠QOP）
=

1

2

（180°-90°+∠QPO）
=45°+

1

2

∠QPO，
∴∠PQA=90°-∠AQO=90°-（45°+

1

2

∠QPO）
=45°-

1

2

∠QPO=∠CAB-∠EPA=∠PEA，
∴P、A、E、Q四点共圆．

（2）连接OE、OF、OC，如图2．
∵P、A、E、Q四点共圆，∠QPE=∠EPA
∴EQ=EA．
在△QEO和△AEO中，

OQ=OA OE=OE EQ=EA

，
∴△QEO≌△AEO（SSS），
∴∠QOE=∠AOE．
∵∠QPE+∠EPA+∠EOP+∠QOE=90°，
∴2∠EPA+2∠EOP=90°，
∴∠EPA+∠EOP=45°，
∴∠FEO=∠EPA+∠EOP=45°．
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠FEO=∠FCO=45°，
∴C、E、O、F四点共圆，
∴∠EOF+∠ECF=180°，
∴∠EOF=90°．
∵∠AOC=2∠B=90°，
∴∠EOF=∠AOC，
∴∠AOE=∠COF．
在△AEO和△CFO中，

∠AOE=∠COF OA=OC ∠EAO=∠FCO=45°

，
∴△AEO≌△CFO（ASA）．
∴AE=CF=a，
∴AC=BC=CF+BF=a+b，
∴CE=AC-AE=b．
∵∠ECF=90°，
∴EF=

CF2+CE2

=

a2+b2

．

点评：本题主要考查了四点共圆的判定、切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，综合性比较强，难度比较大．证到∠PQA=45°-

1

2

∠QPO=∠PEA是解决第（1）小题的关键，证到C、E、O、F四点共圆及△AEO≌△CFO是解决第（2）小题的关键．