Question

在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，李瑞学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当

AF

AC

=

1

2

=

1

1+1

时，有

AO

AD

=

2

3

=

2

2+1

（如图1）；
（2）当

AF

AC

=

1

3

=

2

2+1

时，有

AO

AD

=

2

4

=

2

2+2

（如图2）；
（3）当

AF

AC

=

1

4

=

1

1+3

时，有

AO

AD

=

2

5

=

2

2+3

（如图3）；

在图4中，当

AE

AC

=

1

1+n

时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示

AO

AD

的一般结论

 

．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,三角形中位线定理

专题：规律型

分析：作DF∥BE交AC于F，如图4，根据平行线分线段成比例定理，由DF∥BE得到

CF

EF

=

CD

BD

，则EF=CF，再利用比例性质由

AE

AC

=

1

1+n

得到

AE

EF

=

2

n

，再由OE∥DF得到

AO

OD

=

AE

EF

=

2

n

，然后根据比例性质求解．

解答：解：作DF∥BE交AC于F，如图4，
∵DF∥BE，
∴

CF

EF

=

CD

BD

=1，
∴EF=CF，
∵

AE

AC

=

1

1+n

，
∴

AE

EC

=

1

n

，
∴

AE

EF

=

AE

1 2 EC

=

2

n

，
∵OE∥DF，
∴

AO

OD

=

AE

EF

=

2

n

，
∴

AO

AD

=

2

n+2

．
故答案为：

2

n+2

（n为正整数）．

点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．