Question

20．如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，1），点B（m，m），其中m＞1
（1）若∠ABO=30°，求m的值；
（2）点P是x轴上一点（不与原点重合），当PA⊥PB时
①求证：PA=PB；
②直接写出点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，AC⊥y轴于点C，AB交y轴于点K，求PK+KC-PO的值

Answer 1

分析 （1）首先判断出OA⊥OB，然后根据∠ABO=30°，判断出OB、OA的关系，即可求出m的值是多少．
（2）①过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，设PN=x，则OP=m-x，MP=m-x+1，根据相似三角形的判定得出△APM∽△PBN，求出x的值，从而得出PN=1，在△APM和△PBN中，根据AAS得出△APM≌△PBN，得出PA=PB；
②根据①可直接得出点P的坐标为（m-1，0）；
（3）设AB的解析式为y=kx+b，把A、B点的坐标代入，求出k，b的值，得出ok的值．

解答 解：（1）∵点A（-1，1），点B（m，m），
∴OA所在的直线的解析式是y=-x，OB所在的直线的解析式是y=x，
∵OA、OB所在的直线的斜率的乘积是：（-1）×1=-1，
∴OA⊥OB，
又∵∠ABO=30°
∴OB=$\sqrt{3}$OA，
∵点A（-1，1），点B（m，m），
∴OA=$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$m，
∴$\sqrt{2}$m=$\sqrt{3}×\sqrt{2}$，
∴m=$\sqrt{3}$．

（2）①过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
设PN=x，则OP=m-x，MP=m-x+1，
∵PA⊥PB，
∴∠APM+∠BPN=90°，
∵∠APM+∠PAM=90°，
∴∠BPN=∠PAM，
∴△APM∽△PBN，
∴$\frac{AM}{PN}$=$\frac{PM}{BN}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{m-x+1}{m}$，
∴x₁=1，x₂=m（舍去），
∴PN=1，
∴AM=PN，
在△APM和△PBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMP=∠BNP}\\{∠BPN=∠PAM}\\{AM=PN}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△PBN，
∴PA=PB；
②点P的坐标为（m-1，0）；

（3）设AB的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{1=-k+b}\\{m=mk+b}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{m-1}{m+1}$，b=$\frac{2m}{m+1}$，
∴y=$\frac{m-1}{m+1}$x+$\frac{2m}{m+1}$，
∴ok=$\frac{2m}{m+1}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，关键是根据题意作出辅助线，求出点P的坐标．