Question

7．如图，边长为1的等边三角形ABC，D、E分别是BC、CA上的点，且有BD=CE，AD与BE交于点F，若AD⊥CF，则BD长为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意推知△ADB≌△BEC（SAS），结合全等三角形的性质和相似三角形的判定得到：△AEF∽△ADC，由此得出比例式，再由勾股定理列出方程，联立方程组求出BD的长度．

解答 解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠C=∠ABD=60°，
在△ADB和△BEC中$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△BEC（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
又∵BD=CE，
∴∠BAD+∠ABF=60°，即∠AFE=60°．
在△AEF和△ADC中，∠AFE=∠ACB，∠DAC=∠EAF，
∴△AEF∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$．
设BD=x，DF=m，DA=n，
则x²=mn①
$\frac{n-m}{1}$=$\frac{1-x}{n}$，
∴n²-mn=1-x②
又∵AD⊥CF，
∴AC²-AF²=CD²-DF²，
∴1²-（n-m）²=（1-x）²-m²③．
由①②③可得：x=$\frac{1}{3}$，即BD=$\frac{1}{3}$．
故答案是：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，题目比较好，难度偏大．